Producto de dos binomios conjugados

Reciben este nombre porque un de ellos esta en función de una suma y en otro en funcion de una resta

"Son los mismos términos

Regla

(a+b) (a-b) = a² -b²

(1- -2-)

Productos Notables

Son reglas que nos permiten resolver algunas operaciones definidas como: la suma de un binomio cuadrado

(a+b)²

la regla es:

cuadrado del primer término mas el doble producto

1º + 2(1º) (2º) + 2-

Del primero por el segundo mas el cuadrado  del segundo

Ejemplo:

(4a² + 8b³)² = (4a²)² + 2(4a²) (8b³) + (8b³)²

= 16 a⁴ + 69a²b³ +64b⁶

El resultado de un binomio es: el resultado: trinomio cuadrado perfecto T. C. P.

La diferencia de un binomio al cuadrado. Este producto notable solamente cambia  en un signo que es el signo del segundo término

(2a – 7b)² = 4a²  - 28ab + 49b² (T. C. P.)

(2a)² -2 (2a) (7b) + (7b)²

Solo cambia el primer signo 

Diferencia de Polinomios

En el caso de la diferencia de polinomios es necesario cambiar el signo de los términos que pertenecen al sustraendo y a continuación reducir los términos semejantes de acuerdo con las reglas

La diferencia de polinomios también se puede realizar de forma vertical cambio el signo de los términos que corresponden al sustraendo  o bien a los sustraendos.

Si se representan los términos de por medio de una figura como se muestra a continuación, la suma se puede resolver de forma gráfica.

Multiplicación

A diferencia de la suma y la resta la multiplicación se puede realizar con términos que no necesariamente deben ser términos semejantes.

Multiplicación de un monomio por un polinomio

En el caso del producto de un monomio por un polinomio solo se requiere entender los conceptos anteriores es decir se debe multiplicar el monomio por cada uno de los polinomios.

multiplicacion de monomios y monomio

En este caso se aplica la ley de los signos para la multiplicación

(+) (+) = +

(+) (-) = -

(-) (+) = -

(-) (-) = -

(1/4mn⁴) (-2/3mn⁵) = +1/6m²n⁶ = 1/6m²n⁶ = 1/6m²n⁶

(2a^2-a)(4a^3-2a) = -8a^5-a

Multiplicación de un monomio  por un polinomio

en este caso la única variante es aplicar la propiedad distributiva del monomio por el polinomio

(2a2) (-5a⁴ – 3a²b + 4/3 ab-2) =

=-10a⁶ = 6a⁵b + 8/3a³b – 4a²

Multiplicación de polinomio con polinomio

(2a² + 3ª + 5) (-2a – 2) =

2a^{2 +} 3a + 5

Valor numérico de expresiones algebraicas en contexto

Para obtener el valor numérico de una expresión algebraica se sustituye cad uno de los valores asignados y se resuelven las expresiones indicadas

Video 1 reducción  de términos semejantes

Ejemplo:

5ab³ + 79b³ = 12ab³

6a - 11a + 28a = 34a - 11a = 23a

en términos semejantes su objetivo es reducir a lo mas posible una ecuación como en los ejemplos anteriores.

1) Solamente se pueden reducir los términos que tengan la misma literal.

2) Cuando en una misma ecuación hay varios términos con literales distintas solamente se pueden reducir las mismas literales

Expresiones Algebraicas

Son términos que están formados por letras y por números.

                                              - exponente (1
1a composicion de un termino   - signo (+
                                              - literal (a
                                              - coeficiente (1

+ signo 1 exponente a literal ¹ exponente

Clasificación de expresiones algebraicas

Monomios: son expresiones formadas por un solo término algebraico

2x,  = -4 x² y = -1/2 m³ n⁴ o⁵ p⁵ =

binomios: son expresiones algebraicas formadas por dos términos (dos monomios)

a + b

-1/2m² - 1/5

2a + 3b³

Trinomios: son expresiones algebraicas formadas por tres términos (tres monomios)

-1.75

Polinomios: Poli = muchos, nomio = término, es una expresión algebraica formada por dos o mas términos

1.- Ley de multiplicación

Si tienen la misma base de suman los exponentes

a⁵.a⁶ = a⁵⁺⁶  a¹¹

a². a⁸ = a²⁺⁸ = a¹⁰

^{2.- ley de la división}

^{en este caso si tienen la misma base los exponentes se restan}

5⁵/5¹⁰ = 5^5-10 = 5⁵ = 15625

5¹⁰/5¹⁵ = 5^10-15 = 5⁵ = 15625 

3.- Lel del Exponente

Se multiplica  el exponente por el exponente

(5²)³ = 5^2x3 = 5⁶ =78125

(3⁵)² = 3^5x2 = 3¹⁰ = 177147

Exponente Fraccionario

Este exponente resulta cuando una potencia  tiene una raiz N

m ^ aⁿ = a^2/m

2 ^ 2³ = 2^3/2

3.- Ley Potencia de Potencias

En este caso se multiplica el exponente se multiplica por el exponente de la potencia

(2²)² = 2^2.2 = 2⁴ = 16

(1/a²) = 1/a^2.2 = 1²/a⁴ = 1/a⁴

Leyes de los Exponentes

1.- Leyes de los exponentes

2².2³ = 2.²⁺³ = 2⁵ =32

m^10.m^-16 = m^(10)+(-16)  = m ^-6 = 1/m⁶

Potencias con Notación Científica

(14000)²                                                                                                     (0.0034)³

=(1.4 x 10⁴)² = 1.96 x 10⁸                                                        (3.4 x 10^-3)³ = 39.304 x 10^-9

Notación Científica

Esta notación nos permite trabajar con cantidades muy grandes (macro) también de esta manera con cantidades muy pequeñas (micro) ejemplo: la velocidad luz, la distancia entre la luna y la tierra, estas son cantidades macro, las dimensiones de otra bacteria, la dimensión de una bacteria son cantidades micro

La notación científica utiliza  como base la potencia de 10

3200000  potencia 10
3.20. x 10⁶   

32.0 x 10⁵

320. x 10⁴

Leyes de los Exponentes

Todo número o letra elevado a 0 es igual a la unidad

Los elementos de una potencia son el exponente y la base.

la base es el número que va a multiplicarse por si misma , el número de veces que nos indica el exponente.

El exponente es el número pequeño que se ubica en la parte superior derecha de la unidad

2² = 2.2 = 4
2³ = 2.2.2 = 8

Los números Racionales en Contexto

los números racionales se representan con la letra I, son decimales periódicos que no se repiten

Por medio de la calculadora obtener las siguientes raíces cuadradas:

2^ = 1.4142

17^ = 4.1231056

Potencias con fracciones

En las potencias si el exponente es positivo el resultado siempre sera positivo

(2/5)^3=2.2.2=8
              5.5.5  125

Si es impar y la fracción es negativa el resultado sera positivo

(-2/5)^3=2.2.2 =-8
               5.5.5   125

Operaciones con fracciones

suma con fracciones

en esta operación existen dos casos

a)suma de fracciones con igual denominador
en este caso se suman los numeradores tomando en cuenta el signo y se coloca el resultado del mismo denominador

3/5+1/5=  3+1= 4/5 

                  5

(3/9)+(-2/9)=3-2=1/9
                       5

b)suma de fracciones con diferente denominador

en este caso se busca tener los denominadores iguales

3/5+2/3

5(2/3)=10/15

3(3/5)=9/15 

9/15+10/15=9+10=1 4/15

                       15

Fraccion

Es la parte de un todo. Se representa como el consiente de dos números enteros, con la condición de que el divisor sea diferente  de cero , las fracciones se clasifican en propias e impropias

Fracciones propias
las fracciones propias representan una cantidad menor a un entero

Fracciones impropias

es una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador y me representa una cantidad mayor que el entero.

los números mixtos están formados por un entero y una fracCion

EJEMPLO 

3 4/6



Fracciones equivalentes

son las fracciones que apesar de aparentemente ser diferentes en cantidad  es realidad equivalen los mismo numéricamente

Fracciones aparentes

 las fracciones aparentes a pesar de tener numerador y denominador me representan en realidad un numero entero 

EJEMPLO

6/2=3

8/4=2

4/1=4

-20/2=-10

los números racionales

El hombre siempre a tenido la necesidad de dividir en muchas situaciones como por ejemplo

a)un terreno

b)una tela

c)un pastel

d)un liquido

entre muchos otros....

los números racionales nos permiten tener un mayor contexto y que de manera cotidiana los aplicamos. los números racionales están conformados de la siguiente manera, por los fraccionarios y los decimales.

EJEMPLOS

Medio kilogramo de tortilla

500 kilogramos de crema

La mitad de una moneda de 10 pesos

potencias de numero negativo

Al elevar un numero negativo a una potencia impar el resultado sera siempre negativo

EJEMPLO

-5^3=(5)(5)(5)=-125

-3^5=(3)(3)(3)(3)(3)=-32

La potencia de un número negativo elevado a una potencia par dará siempre positivo

-2^4=(2)(2)(2)(2)(2)=16

-8^2=(8)(8)=64

Potencia

La potencia es la operación que consiste en multiplicar el numero de veces que nos indica el exponente. El exponente es un número pequeño que se ubica en la parte superior derecha de la base. En otras palabras es una manera de simplificar la multiplicación.

Potencia de un numero positivo
Al elevar un numero positivo a una potencia impar sera siempre positivo
E
EJEMPLOS

2^2=(2)(2)=4

2^6=(2)(2)(2)(2)(2)(2)= 64

4^3=(4)(4)(4)=64

Al elevar un numero a una potencia par el resultado seguirá siendo positivo

Máximo común divisor y Máximo común multiplo

¿Como se Realizan?

Máximo común divisor:
se realiza de la siguiente manera

se ponen los números deseados a dividir y a la izquierda se pone el numero con el que fue dividido

EJEMPLO

16  32       2
8    16       2
4      8       2
2      4       2
1      2       2
1      1       2

Se multiplican los números en donde todos los números fueron divididos, en este caso todos coincidieron todos así que se multiplican todos los dos

dando como resultado:

2x2x2x2x2x2=64

Que también es:

2^6=64

Mínimo común múltiplo

En este caso se resuelve dela misma manera solo que todos los numeros que fueron el resultado de division son multiplicados

números primos, Múltiplos y Submultiplos

Los números primos son aquellos que tienen dos divisores ellos mismo y la unidad

divisor es un número que divide a otra manera exacta.

números compuestos es el numero que tiene mas de dos divisores

Múltiplos y submúltiplos

un múltiplo es un numero que resulta de multiplicar a otro numero.

EJEMPLO

4:  0    1    2    3    4    5 

   0    4    8    12  16  20

8: 6     12     9     10

    48   96    72    80

División Y raíz cuadrada

Nombres de sus componentes


la división tal como indica su nombre sirve para dividir de manera equitativa un numero por ejemplo se divide 3 entre 2 el resultado es 1.5

Raíz Cuadrada


la raíz cuadrada sirve para encontrar un numero que al ser multiplicado por si mismo de como resultado la raiz

Multiplicación

Esta operación sirve para simplificar una suma

Ejemplo

3x4=12

3+3+3+3=12

no importa si es resulto bien o de manera desordenada va a dar el mismo resultado

4x3=12

Ejemplos de multiplicaciones

Sustracción

¿Qué es y para que sirve?
La sustracción es el signo algebraico que permite disminuir la cantidad de un numero X dando como resultado un numero menor al anterior.

EJEMPLOS 

Tenia 15 lapices, perdí 3 y preste 5 ¿cuantos me quedan?  

7 lapices 

En Hallowine reuní 50 dulces y en transcurso del día siguiente me comí 45 ¿cuantos me quedan?

5 dulces

En mi cumpleaños me regalaron 6 botellas de alcohol y me tome 5 ¿cuantas me quedan?

2

mi cuaderno cuando lo compre tenia 100 hojas en el transcurso del año arranque 35 y ocupe 50 ¿cuantas me quedan libres? 

15 hojas

Suma

¿Qué son?

Es la ecuación algebraica para aumentar el valor de un numero copilandolo con otro.

EJEMPLOS

Un viaje de camión cuesta 7$ y viajo dos veces para llegar a mi trabajo ¿cuanto gasto? 

14$

Ayer compre un lápiz de 5$ hoy otro y una goma de 3$ ¿cuanto gaste en total?

13$

Me compre 5 cuadernos de de 15$ cada uno ¿cuanto gaste?

75$

Mi automóvil le quedan 15 litros de gasolina y le meto otros 7 ¿cuanto tendré?

15+7=22

Los números naturales

¿qué son?
Son aquellos números que conforman la recta numérica.
es decir que abarcan del uno hasta el infinito el cero no es considerado numero natural porque el cero representa la nada absoluta y es mas bien el numero que separa a los números negativos de los positivos



Propiedades
al sumar dos o mas números naturales da como resultado otro numero natural esto se llama propiedad cerrada.
El orden de los sumados no afecta el resultado, a esto se le conoce como propiedad conmutativa

EJEMPLOS

12+6=18

13+32=45

5+5=10

Las propiedades asociativas permite agrupar varios números permitiendo que sea mas fácil resolver.

EJEMPLO

a+b+c=d 

(a+b)+c=d

a+(b+c)=d